จำนวนจริง
จากแผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนข้างต้น จะพบว่า ระบบจำนวนจริง จะประกอบไปด้วย
1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, - √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265...
2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น
เขียนแทนด้วย 0.5000...
เขียนแทนด้วย 0.2000...
• ระบบจำนวนตรรกยะ
จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ
1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น
2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม
• ระบบจำนวนเต็ม
จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน
1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I - โดยที่ I - = {..., -4, -3, -2, -1}
เมื่อ I - เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ
2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)
3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่ I+ = {1, 2, 3, 4, ...}
เมื่อ I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า "จำนวนนับ" ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่ N = I+ = {1, 2, 3, 4, ...}
• ระบบจำนวนเชิงซ้อน
นอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้
x2 = -1 ∴ x = √-1 = i
x2 = -2 ∴ x = √-2 = √2 i
x2 = -3 ∴ x = √-3 = √3 i
จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก i ว่า "หนึ่งหน่วยจินตภาพ" เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i
ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ " เซตจำนวนเชิงซ้อน " (Complex numbers)
สมบัติกของจำนวนจริง
สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. สมบัติการสะท้อน a = a
2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a
3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c
4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc
• สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง
2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c
4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก
5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก
• สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง
กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง
2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c
4. เอกลักษณ์การคูณ 1 • a = a = a • 1
นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ
5. อินเวอร์สการคูณ a • a-1 = 1 = a • a-1, a ≠ 0
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0
6. สมบัติการแจกแจง
a( b + c ) = ab + ac
( b + c )a = ba + ca
จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้
ทฤษฎีบทที่ 1 กฎการตัดออกสำหรับการบวก
เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b
ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c
ทฤษฎีบทที่ 2 กฎการตัดออกสำหรับการคูณ
เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b
ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c
ทฤษฎีบทที่ 3 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
a • 0 = 0
0 • a = 0
ทฤษฎีบทที่ 4 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
(-1)a = -a
a(-1) = -a
ทฤษฎีบทที่ 5 เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0
ทฤษฎีบทที่ 6 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
a(-b) = -ab
(-a)b = -ab
(-a)(-b) = ab
เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน
ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น
• การลบจำนวนจริง
บทนิยาม เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
a- b = a + (-b)
นั่นคือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b
• การหารจำนวนจริง
บทนิยาม เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0
= a(b-1)
นั่นคือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b
การแก้สมการตัวแปรเดียว
บทนิยาม สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0
เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า "สมการพหุนามกำลัง n"
ตัวอย่างเช่น x3 - 2x2 + 3x -4 = 0
4x2 + 4x +1 = 0
2x4 -5x3 -x2 +3x -1 = 0
• การแก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2
สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ
ทฤษฎีบทเศษเหลือ
เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ
การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c)
นั่นคือ เศษของ คือ f(c)
ทฤษฎีบทตัวประกอบ
เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
พหุนาม f(x) นี้จะมี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0
ถ้า f(c) = 0 แล้วเศษของ คือ 0
แสดงว่า x - c หาร f(c) ได้ลงตัว
นั่นคือ x - c เป็นตัวประกอบของ f(x)
ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
ถ้า x - เป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม
ซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว
(1) m จะเป็นตัวประกอบของ an
(2) k จะเป็นตัวประกอบของ a0
ขั้นตอนการหาคำตอบของสมการโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ มีดังนี้
1. ถ้า an = 1 ให้หาตัวประกอบ c ของ a0 และตัวประกอบ m ของ an ที่ทำให้
f( ) = 0 ตามทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
2. นำ x - c หรือ x -ที่หาได้ในข้อ 1. ไปหาร f(x) ผลหาร
จะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของ f(x) อยู่ 1
3. ถ้าผลหารในข้อ 2. ยังมีดีกรีสูงกว่า 2 ให้แยกตัวประกอบต่อไปอีก โดยใช้วิธีตามข้อ 1. และ 2.
ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 2x2 - x + 2= 0
วิธีทำ ให้ f(x) = x3 - 2x2 - x + 2
∴ f(1) = 1 - 2 -1 + 2 = 0
∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)
∴ = x2 - x - 2
x3 - 2x2 - x + 2 = (x-1)(x2 - x - 2)
= (x-1)(x-2)(x+1)
x3 - 2x2 - x + 2 = 0
(x-1)(x-2)(x+1) = 0
x = 1, 2, -1
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 1, 2}
ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 10x2 + 27x -18 = 0
วิธีทำ ให้ f(x) = x3 - 10x2 + 27x -18
∴ f(1) = 1 - 10 + 27 -18 = 0
∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)
∴ x3 - 10x2 + 27x -18 = (x-1)(x2 - 9x + 18)
= (x-1)(x-3)(x-6)
x3 - 10x2 + 27x -18 = 0
(x - 1) (x - 3) (x - 6) = 0
x = 1, 3, 6
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {1, 3, 6}
ตัวอย่างที่ 3 จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - x2 - 5x -3 = 0
วิธีทำ ให้ f(x) = x3 - x2 - 5x -3
∴ f(3) = 33 -32 -5(3) - 3= 0
= 27 - 9 - 15 - 3
= 0
∴ x - 3 เป็นตัวประกอบของ f(x)
∴ x3 - x2 - 5x -3 = (x-3)(x2 + 2x + 1)
= (x-3)(x+1)(x+1)
x3 - x2 - 5x - 3 = 0
(x-3)(x+1)(x+1) = 0
x = 3, -1
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 3}
ตัวอย่างที่ 4 จงหาเซตคำตอบของสมการ 2x3 - 3x2 - 17x +30 = 0
วิธีทำ ให้ f(x) = 2x3 - 3x2 - 17x +30
∴ f(2) = 2(2)3 -3(2)2 -17(2) +30 = 0
= 16 - 12 - 34 +30
= 0
∴ x - 2 เป็นตัวประกอบของ f(x)
∴ 2x3 - 3x2 - 17x +30 = (x-2)(2x2 + x - 15)
= (x-2)(2x - 5)(x+3)
2x3 - 3x2 - 17x + 30 = 0
(x - 2)(2x - 5)(x + 3) = 0
x =2, -3
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-3, 2}
ตัวอย่างที่ 5 จงหาเซตคำตอบของสมการ 6x3 + 11x2 - 4x - 4 = 0
วิธีทำ ให้ f(x) = 6x3 + 11x2 - 4x - 4
∴ f(-2) = 6(-2)3 -11(-2)2 -4(-2) - 4= 0
= -48 + 44 + 8 - 4
= 0
∴ x + 2 เป็นตัวประกอบของ f(x)
∴ 6x3 + 11x2 - 4x - 4 = (x+2)(6x2 - x - 2)
= (x+2)(3x-2)(2x+1)
6x3 + 11x2 - 4x - 4= 0
(x +- 2)(3x - 2)(2x + 1) = 0
x = -2
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-2}
สมบัติของการไม่เท่ากัน
บทนิยาม a < b หมายถึง a น้อยกว่า b
a > b หมายถึง a มากกว่า b
• สมบัติของการไม่เท่ากัน
กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c
2. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c
3. จำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ
a เป็นจำนวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0
a เป็นจำนวนจริงลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0
4. สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์
ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc
5. สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b
6. สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ
ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b
ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b
บทนิยาม a ≤ b หมายถึง a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b
a ≥ b หมายถึง a มากกว่าหรือเท่ากับ b
a < b < c หมายถึง a < b และ b < c
a ≤ b ≤ c หมายถึง a ≤ b และ b ≤ c
ค่าสมบูรณ์
บทนิยาม กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริง
นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงใดๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ
• สมบัติของค่าสัมบูรณ์
1. |x| = |-x|
2. |xy| = |x||y|
3. | x - y | = | y - x |
4. |x|2 = x2
5. | x + y | ≤ |x| +|y|
6. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก
|x| < a หมายถึง -a < x < a
|x| ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a
7. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก
|x| > a หมายถึง x < -a หรือ x > a
|x| ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรือ x ≥ a
สัจพจน์ของความบริบูรณ์
สัจพจน์ความบริบูรณ์ หรือสัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด (Least upper bound axiom)
บทนิยาม ถ้า S เป็นสับเซตของ R
S จะมีขอบเขตบนก็ต่อเมื่อ มีจำนวนจริง a ที่ทำให้ x ≤ a
สำหรับจำนวนจริง x ทุกตัวใน S เรียกจำนวนจริง a นี้ว่า "ขอบเขตบนของ S"
a จะเป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ S ก็ต่อเมื่อ
1. a เป็นขอบเขตบนของ S
2. ถ้า b เป็นขอบเขตบนของ S แล้วจะได้ว่า a ≤ b
• สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด
ถ้า S เป็นสับเซตของ R โดยที่ S ≠ Ø และ S มีขอบเขตบนแล้ว S จะมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด
ตัวอย่างที่ 1 ให้ S เท่ากับช่วงปิด [1, 6]
จะได้ว่า 6 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 6 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 6
ตัวอย่างที่ 2 ให้ S เท่ากับช่วงเปิด (2, 7)
จะได้ว่า 7 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 7 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 7
ตัวอย่างที่ 3 ให้ S = {1, 0, 3, 5, 4}
จะได้ว่า 5 และจำนวนจริงทุกตัวที่มากกว่า 5 เป็นขอบเขตบนของ S และขอบเขตบนน้อยสุดคือ 5
ตัวอย่างที่ 4 ให้ S = [-2, ∞]
จะได้ว่า S ไม่มีขอบเขตบน
ตัวอย่างที่ 5 ให้ S ≠ Ø
จะได้ว่า จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นค่าขอบเขตบนของ S ดังนั้นเซตว่างจึงไม่มีขอบเขตบนน้อยสุด
ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น
• การหารลงตัว
บทนิยาม กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ โดยที่ b ≠ 0
b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn
และเขียนแทน “b หาร a ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b | a
จากบทนิยาม ถ้า b หาร a ไม่ลงตัว แสดงว่าไม่มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn และ เขียนแทน “b หาร a ไม่ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b † a
ตัวอย่างเช่น 3 | 9 เพราะมี n = 3 ที่ทำให้ 9 = 3n
-5 | 10 เพราะมี n = -2 ที่ทำให้ 10 = +5n
6 | 0 เพราะมี n = 0 ที่ทำให้ 0 = 6n
สมบัติการหารลงตัว
ทฤษฎีบทที่ 1 กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | c
ทฤษฎีบทที่ 2 กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มบวก
ถ้า a | b แล้วจะได้ a ≤ b
ทฤษฎีบทที่ 3 กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | bx + cy
เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ
การจำแนกจำนวนเต็มบวกโดยใช้สมบัติการหารลงตัว
1.จำนวนเฉพาะ (Prime Numbers)
บทนิยาม จำนวน เต็ม p จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ -1 และถ้ามีจำนวนเต็มที่หาร p ลงตัว จำนวนเต็มนั้นต้องเป็นสมาชิกของ {-1, 1, p, -p}
2.จำนวนประกอบ (Composite Numbers)
บทนิยาม จำนวนเต็ม c เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ c ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
นั่นคือสำหรับจำนวนเต็มบวก c ใดๆ c จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม m และ n ที่ต่างจาก c ที่ทำให้ c = mn
ตัวอย่างเช่น
จำนวนที่หาร 2 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 2, -2} ∴ 2 เป็นจำนวนเฉพาะ
จำนวนที่หาร 3 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 3, -3} ∴ 3 เป็นจำนวนเฉพาะ
จำนวนที่หาร 4 ลงตัว ได้แก่ {-4, -2, -1, 1, 2, 4} ∴ 4 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
• ขั้นตอนวิธีการหาร
ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b ≠ 0 แล้วจะมี q และ r ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ทำให้
a = bq + r เมื่อ 0 r |b|
นั่นคือ a เป็นตัวตั้งหารด้วย b ได้ผลหารคือ q และเศษ r
ตัวอย่างที่ 1 กำหนด a = 48, b = 7 จงหา q และ r
เขียนให้อยู่ในรูป a = bq + r
48 = 7 × 6 +6
∴ q = 6 และ r = 6
• ตัวหารร่วม
ตัวหารร่วม
กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็ม c
ซึ่ง c | a และ c | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วม” ของ a และ b
ตัวหารร่วมมาก
กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน เรียกจำนวนเต็มบวก d ที่มีค่ามากที่สุด ซึ่ง d | a และ d | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วมมาก” (ห.ร.ม.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (a, b)
ตัวอย่างเช่น จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48
วิธีทำ ตัวหารร่วมของ 36 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36
ตัวหารร่วมของ 48 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48
ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12
ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ที่มีค่ามากที่สุด คือ12
นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12
การหาตัวหารร่วมมากโดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด
ตัวอย่างเช่น จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48
วิธีทำ
ในที่นี้ rk = 12
ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12
จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
บทนิยาม จำนวนเต็ม a และ b จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันก็ต่อเมื่อ (a, b) = 1
• ตัวคูณร่วมน้อย
ตัวคูณร่วมน้อย
กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็มบวก c ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่ง a | c และ b | c ว่าเป็น "ตัวคูณร่วมน้อย" (ค.ร.น.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ [a, b]
ตัวอย่างเช่น จงหา ค.ร.น. ของ 36 และ 24
วิธีทำ พหุคูณที่เป็นบวกของ 36 ได้แก่ 36, 72, 108, 144, ...
พหุคูณที่เป็นบวกของ 24 ได้แก่ 24, 48, 72, 96, 120, 144, ...
พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ได้แก่ 72, 144, ...
พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ที่มีค่าน้อยที่สุด คือ 72
นั่นคือ ค.ร.น. ของ 36 และ 24 คือ 72
ที่มาจาก:https://sites.google.com/site/jaruwanphonbsru/bth-thi-3-canwncring
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น